Πώς να υπολογίσετε την αντίσταση κύλισης

Πίνακας περιεχομένων

Ορισμός

Αντίσταση κύλισης είναι η δύναμη αντίστασης που εφαρμόζεται στον τροχό όταν κυλά. Το μέγεθος της αντίστασης κύλισης εξαρτάται από μια σειρά παραγόντων, οι οποίοι τις περισσότερες φορές δρουν μαζί και δεν μπορούν να αναλυθούν με σαφήνεια.

Οι πιο συνηθισμένες αιτίες αντίστασης κύλισης που εφαρμόζεται σε τροχό σε κίνηση είναι:

παραμόρφωση ελαστικού
τριβή μεταξύ ελαστικού και οδοστρώματος
τριβή τροχού με τον περιβάλλοντα αέρα
τριβή στην πλήμνη του τροχού και στα ρουλεμάν
παραμόρφωση του οδοστρώματος

Στην παρακάτω συζήτηση θα επικεντρωθούμε στην αντίσταση κύλισης που προκαλείται από το ελαστικό και το δρόμο. Η απόδοση πλήμνης τροχού και ρουλεμάν δεν αποτελεί μέρος αυτής της διάλεξης, καθώς μπορούν να θεωρηθούν ως μέρος των συνολικών απωλειών της γραμμής μετάδοσης κίνησης (απόδοση).

Εικόνα: Κατανομή πίεσης ελαστικών – ακίνητο έναντι κύλισης

Στην παραπάνω εικόνα: Ν [N] – κανονική δύναμη αντίδρασης, W [N] – δύναμη βάρους που επενεργεί στον τροχό και ω [rad/s] – γωνιακή ταχύτητα του τροχού.

Όταν το ελαστικό είναι ακίνητο, η κατανομή της κανονικής δύναμης N [N] στο έμπλαστρο επαφής είναι συμμετρικό σε σχέση με τον κατακόρυφο άξονα του τροχού. Ωστόσο, όταν ο τροχός βρίσκεται σε κίνηση (περιστροφή), η κανονική κατανομή δύναμης δεν είναι πλέον συμμετρική αλλά συγκεντρώνεται στο μπροστινό μέρος του τροχού, προς την κατεύθυνση της κίνησης. Αυτό κάνει τη δύναμη που προκύπτει N [N] να δημιουργήσει μια ωμική ροπή κύλισης, η οποία θα προσπαθήσει να επιβραδύνει τον τροχό.

Πήγαινε πίσω

Τύπος

Εικόνα: Διάγραμμα αντίστασης κύλισης – δυνάμεων τροχού

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα όχημα που έχει κίνηση στους μπροστινούς τροχούς (FWD). Οι πίσω τροχοί θα τραβηχτούν κατά μήκος, μέσα από το πλαίσιο. Επομένως θα υπάρχει μια ελκτική δύναμη F_Π [N] που ενεργεί στην πλήμνη του τροχού, η οποία θα αναγκάσει τον τροχό να περιστραφεί. Όπως εξηγήθηκε προηγουμένως, λόγω της ασύμμετρης κατανομής δύναμης στο έμπλαστρο επαφής, θα υπάρξει μια κανονική δύναμη N [N] ενεργώντας στο ελαστικό, στην απόσταση α [m] από τον κάθετο άξονα του ελαστικού.

Η δύναμη Ν [N] είναι η κατακόρυφη συνιστώσα μιας προκύπτουσας δύναμης που διέρχεται από το κέντρο περιστροφής του ελαστικού. Η οριζόντια συνιστώσα αυτής της προκύπτουσας δύναμης, που ενεργεί στην επιφάνεια επαφής, η οποία προσπαθεί να επιβραδύνει το ελαστικό είναι ακριβώς η δύναμη αντίστασης κύλισης F_rr [N].

Δεδομένου ότι ο τροχός βρίσκεται σε ισορροπία, το άθροισμα των δυνάμεων στον άξονα x, το άθροισμα των δυνάμεων στον άξονα y και το άθροισμα των ροπών που δρουν γύρω από το κέντρο των τροχών είναι όλα μηδέν.

ισορροπία δυνάμεων του άξονα x

ισορροπία δυνάμεων του άξονα y

φά_rr · r_w – N · a = 0

(8)

Αντικατάσταση του N από το (6) στο (8) και επίλυση του F_rr [N] δίνει:

Η αναλογία μεταξύ της απόστασης α [m] και ακτίνα τροχού r_w [m] είναι το συντελεστής αντίστασης κύλισης φά [-].

Η αντικατάσταση του (10) στην εξίσωση (9) δίνει τον γενικό τύπο του δύναμη αντίστασης κύλισης για επίπεδους (χωρίς κλίση) δρόμους.

φά_rr = f · W = f · m · g

(11)

όπου μ [kg] είναι η μάζα του οχήματος και g = 9,81 m/s² είναι η βαρυτική επιτάχυνση.

Αν υπολογίσουμε τη συνολική δύναμη αντίστασης κύλισης του οχήματος, τότε ολόκληρη η μάζα του οχήματος χρησιμοποιείται στην εξίσωση. Αν υπολογίσουμε την αντίσταση κύλισης μόνο ενός τροχού, τότε η μάζα του οχήματος διαιρείται με τέσσερα (υποθέτοντας ίση κατανομή βάρους μεταξύ των τροχών).

Εάν το όχημα κυλά σε δρόμο με κλίση α [°]τότε ο τύπος για την αντίσταση κύλισης γίνεται:

φά_rr = f · W · cos(α) = f · m · g · cos(α)

(12)

Πήγαινε πίσω

Συντελεστής αντίστασης κύλισης

Ο συντελεστής αντίστασης κύλισης ενός ελαστικού εξαρτάται από την κατασκευή του ελαστικού, τα υλικά, την πίεση του αέρα, την ταχύτητα του οχήματος και τις συνθήκες του δρόμου. Γενικά, για χαμηλές ταχύτητες οχημάτων, η τιμή του συντελεστή αντίστασης κύλισης είναι σταθερή.

Ο συντελεστής αντίστασης κύλισης αυξάνεται ελαφρώς με την αύξηση της ταχύτητας οδήγησης του οχήματος. Σύμφωνα με [7]υπό κανονικές συνθήκες λειτουργίας, με την ταχύτητα του οχήματος κάτω από 200 χλμ/ώρα, ο συντελεστής αντίστασης κύλισης είναι μεταξύ 0,01 – 0,02.

Υπάρχουν πολλές πηγές βιβλιογραφίας για την αυτοκινητοβιομηχανία, στις οποίες μπορείτε να βρείτε την τιμή του συντελεστή αντίστασης κύλισης, η οποία λειτουργεί σε διάφορες παραμέτρους. Για παράδειγμα σε [6]μπορείτε να βρείτε την τιμή της συνάρτησης του συντελεστή αντίστασης κύλισης του τύπου δρόμου.

Επιφάνεια δρόμου	Συντελεστής αντίστασης κύλισης
Πνευματικά ελαστικά αυτοκινήτου
μεγάλο σετ πεζοδρόμιο	0,013
μικρό σετ πεζοδρόμιο	0,013
σκυρόδεμα, άσφαλτος	0,011
έλασης χαλίκι	0,02
άσφαλτος	0,025
μη ασφαλτοστρωμένος δρόμος	0,05
πεδίο	0,1 – 0,35
Ελαστικά φορτηγών πεπιεσμένου αέρα
σε μπετόν, άσφαλτο	0,006 – 0,01
Τροχοί με ιμάντες στο χωράφι	0,14 – 0,24
Τρακτέρ τύπου τροχιάς στο χωράφι	0,07 – 0,12
Τροχός στη ράγα	0,001 – 0,002

Πίνακας: Συντελεστές αντίστασης κύλισης
Πηγή: [6]

Από [1] μπορούμε επίσης να εξαγάγουμε έναν πίνακα συντελεστών αντίστασης κύλισης συνάρτηση του οδοστρώματος.

Επιφάνεια δρόμου	Συντελεστής αντίστασης κύλισης
Καινούργια, σταθερή άσφαλτος? σκυρόδεμα; μικρό πεζοδρόμιο? λιθόστρωτο πεζοδρόμιο	0,005 – 0,015
έλασης, σταθερό χαλίκι. φθαρεί, άσφαλτος πλυντηρίου	0,02 – 0,03
πίσσα, φθορά, πλυντήριο χαλίκι	0,03 – 0,04
πολύ καλοί χωματόδρομοι	0,04 – 0,05
χωματόδρομοι	0,05 – 0,15
άμμος	0,15 – 0,35

Πίνακας: Συντελεστές αντίστασης κύλισης
Πηγή: [1]

Πρόσθετες τιμές για τον συντελεστή αντίστασης κύλισης μπορούν να βρεθούν στο [8] για διαφορετικούς τύπους πεζοδρομίων σε χαμηλές ταχύτητες οχημάτων.

Τύπος πεζοδρομίου	Συντελεστής αντίστασης κύλισης
Καλό οδόστρωμα από άσφαλτο ή μπετόν	0,01 – 0,018
Γενική άσφαλτος ή πεζοδρόμιο από σκυρόδεμα	0,018 – 0,02
Χωματόδρομος	0,02 – 0,025
Καλός χωματόδρομος	0,025 – 0,030
Βότσαλο λακκούβες πεζοδρόμιο	0,035 – 0,050
Χωματόδρομος πατημένος (στεγνός)	0,025 – 0,035
Χωματόδρομος πατημένος (βροχερός)	0,050 – 0,150
Λασπώδης χωματόδρομος	0,100 – 0,250
Ξηρή άμμος	0,100 – 0,300
Βρεγμένη άμμος	0,060 – 0,150
Παγωμένοι δρόμοι	0,015 – 0,030
Συμπαγής πίστα σκι	0,030 – 0,050

Πίνακας: Συντελεστής αντίστασης κύλισης οχήματος σε χαμηλή ταχύτητα σε δεδομένο δρόμο
Πηγή: [8]

Στην πραγματικότητα, ο συντελεστής αντίστασης κύλισης εξαρτάται από διάφορους παράγοντες, όπως:

κατασκευή ελαστικών
τύπος δρόμου
γλιστρήσει μεταξύ ελαστικού και δρόμου
πίεση φουσκώματος
φορτίο τροχού

Στην παρακάτω εικόνα μπορείτε να δείτε την επίδραση της πίεσης των ελαστικών στον συντελεστή αντίστασης κύλισης. Καθώς η πίεση του αέρα αυξάνεται, ο συντελεστής αντίστασης κύλισης μειώνεται. Αυτό συμβαίνει επειδή μια αυξημένη εσωτερική πίεση οδηγεί σε περαιτέρω ακαμψία του ελαστικού, πράγμα που σημαίνει ότι η παραμόρφωση του ελαστικού μειώνεται σε φορτίο σταθερής κατάστασης. Αυτό οδηγεί σε μείωση της ενέργειας κάμψης του ελαστικού και λόγω της μικρότερης επιφάνειας επαφής, σε μείωση του στοιχείου τριβής της αντίστασης [1].

Εικόνα: Συνάρτηση συντελεστή αντίστασης κύλισης φορτίου τροχού και πίεσης ελαστικών
Πίστωση: [1]

Στην επόμενη εικόνα μπορείτε να δείτε την επίδραση της ταχύτητας του οχήματος στην αντίσταση κύλισης. Η αύξηση του συντελεστή αντίστασης κύλισης, που αυξάνεται με την ταχύτητα του οχήματος, οφείλεται στην υπερτιθέμενη επίδραση του κύματος παραμόρφωσης του ελαστικού στην αντίσταση κάμψης. Αυτή η επίδραση αυξάνεται με την ταχύτητα [1].

Εικόνα: Συνάρτηση συντελεστή αντίστασης κύλισης της ταχύτητας οδήγησης
Πίστωση: [1]

Πήγαινε πίσω

Μοντέλα για συντελεστή αντίστασης κύλισης

Για σκοπούς υπολογισμού/προσομοίωσης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε είτε μια σταθερή τιμή του συντελεστή αντίστασης κύλισης είτε μια εξαρτώμενη από την ταχύτητα. Στη βιβλιογραφία του αυτοκινήτου, υπάρχει ένας αριθμός τύπων για τον συντελεστή αντίστασης κύλισης, κυρίως συνάρτηση της ταχύτητας του οχήματος και της πίεσης των ελαστικών.

Συνάρτηση συντελεστή αντίστασης κύλισης της ταχύτητας του οχήματος

Σε [9] Υπάρχουν διάφοροι προτεινόμενοι τύποι για τον συντελεστή αντίστασης κύλισης.

\[f (V)= f_{0} + f_{01} \cdot V + f_{02} \cdot V^{2} \tag{13}\]

όπου V [kph] είναι η ταχύτητα του οχήματος και στ₀στ₀₁ και στ₀₂ είναι συντελεστές κατασκευής ελαστικών. Για παράδειγμα, για ένα ελαστικό radial, οι συντελεστές μπορούν να οριστούν ως εξής:

φά₀ = 1 · 10^-2
φά₀₁ = 5 · 10^-7
φά₀₂ = 2 · 10^-7

Αν σχεδιάσουμε το f [-] λειτουργία του V [kph]παίρνουμε την ακόλουθη καμπύλη:

Εικόνα: Συντελεστής αντίστασης κύλισης (1)

Οι συντελεστές μπορούν να ρυθμιστούν προκειμένου να επιτευχθεί η επιθυμητή συμπεριφορά του συντελεστή αντίστασης κύλισης. Για έναν δρόμο κατασκευασμένο από καλή άσφαλτο ή σκυρόδεμα, ένας συντελεστής κύλισης που κυμαίνεται μεταξύ 0,01 στα 0 χλμ/ώρα και 0,025 στα 250 χλμ/ώρα είναι αρκετά καλός για προσομοιώσεις.

Πήγαινε πίσω

Μοντέλα για δύναμη αντίστασης κύλισης

Μόλις έχουμε τη συνάρτηση του συντελεστή αντίστασης κύλισης της ταχύτητας του οχήματος, μπορούμε να εφαρμόσουμε την εξίσωση (12) και να πάρουμε τη δύναμη αντίστασης κύλισης.

Για παράδειγμα, αν λάβουμε υπόψη ότι η συνολική μάζα του οχήματος είναι 2000 kg και ότι το βάρος είναι ομοιόμορφα κατανεμημένο και στους τέσσερις τροχούς, θα λάβουμε βάρος σε έναν τροχό:

φά_rr = (2000/4) · 9,81 · f(V)

(14)

Εφαρμόζοντας την εξίσωση (12) και τον συντελεστή αντίστασης κύλισης που ορίζεται από το (13), μπορούμε να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση δύναμης αντίστασης κύλισης της ταχύτητας του οχήματος.

Εικόνα: Συνάρτηση δύναμης αντίστασης κύλισης της ταχύτητας

Στο πρότυπο SAE J2452, η δύναμη αντίστασης κύλισης ορίζεται ως συνάρτηση της ταχύτητας του οχήματος, της πίεσης φουσκώματος των ελαστικών και του φορτίου που εφαρμόζεται στον τροχό.

φά_rr = Ζ^α · Π^β · (α + β · V + γ · V²)

(15)

που:

φά_rr [N / lbs] – δύναμη αντίστασης κύλισης
Π [kPa / psi] – πίεση φουσκώματος ελαστικών
Ζ [N / lbs] – φορτίο ελαστικού
V [kph / mph] – ταχύτητα οχήματος
α, β, a, b, c [-] – συντελεστές που εξαρτώνται από τα ελαστικά

Για παράδειγμα, από [3] μπορούμε να εξαγάγουμε τους συντελεστές για το ελαστικό T40 μεγέθους 205/75R15 97S:

α = 1.03399904
β = -0.41081927
a = 0,05933157
b = 9,85526e-05
c = 3,72314e-07

Για το ίδιο φορτίο ελαστικού 4905 N και διαφορετικές πιέσεις φουσκώματος 150, 250 και 350 kPa, μπορούμε να σχεδιάσουμε την αντίσταση κύλισης χρησιμοποιώντας την εξίσωση (15):

Εικόνα: Συνάρτηση δύναμης αντίστασης κύλισης πίεσης ταχύτητας και φορτίου

Πήγαινε πίσω

Παράδειγμα

Για όχημα μάζας 1800 kg, που ταξιδεύει σε δρόμο με γωνία κλίσης 10° και με σταθερό συντελεστή αντίστασης κύλισης 0,012, υπολογίστε τη συνολική δύναμη αντίστασης κύλισης.

Εφαρμόζοντας την εξίσωση (12), παίρνουμε:

φά_rr = 1800 · 9.81 · 0.012 · cos(10 · π / 180) = 209 N

Πήγαινε πίσω

Αριθμομηχανή

Πήγαινε πίσω

βιβλιογραφικές αναφορές

[1] Henning Wallentowitz, Longitudinal Dynamics of Vehicles – Lecture, ΙΚΑ RWTH, Άαχεν, 2004.
[2] Lars Eriksson, Lars Nielsen, Modeling and Control of Engines and Drivelines, Wiley, 2014.
[3] Ben Wen, Gregory Rogerson και Alan Hartke, Ανάλυση συσχέτισης των αποτελεσμάτων δοκιμής αντίστασης κύλισης από SAE J1269 και J2452, SAE International, 2014.
[4] Green Seal’s Report, Ελαστικά χαμηλής αντίστασης κύλισης, Μάρτιος, 2003.
[5] Transportation Research Board, Tires and Passenger Vehicle Fuel Economy, Transportation Research Board Special Report 286, 2006.
[6] Εγχειρίδιο Automotive, 9η Έκδοση, Bosch, 2014.
[7] Georg Rill, Vehicle Dynamics – Lecture Notes, University of Applied Sciences, Regensburg, 2005.
[8] Wuwei Chen et al, Integrated Vehicle Dynamics and Control, Wiley, 2016.
[9] M. Untaru et al, Dynamics of Wheeled Vehicles, Didactic and Pedagogical Publishing House, Βουκουρέστι, 1981.